折れ線グラフで、線の太さを変えるには、Weightプロパティに、太さを表す数値を指定します。
Sub Sample()
ActiveSheet.ChartObjects(1).Chart.SeriesCollection(1).Format.Line.Weight = 6
End Sub

一応書いておきます。
SeriesオブジェクトのFormatプロパティは、ChartFormatオブジェクトを返します。
ChartFormatオブジェクトは、塗りつぶし(FillFormat)やぼかし(SoftEdgeFormat)など、系列(Seriesオブジェクト)の書式にアクセスするためのオブジェクトです。
ChartFormatオブジェクトのLineプロパティは、線の書式を表すLineFormatオブジェクトを返します。
LineFormatオブジェクトには、線の色やスタイル、パターンなどのプロパティがあります。Wightプロパティは、太さを設定するプロパティです。
線の太さは、系列ごとに指定できます。すべての系列に対して太さを設定するには次のようにします。
Sub Sample()
Dim i As Long
With ActiveSheet.ChartObjects(1).Chart.SeriesCollection
For i = 1 To .Count
.Item(i).Format.Line.Weight = 6
Next i
End With
End Sub

Sub Macro()
ActiveSheet.ChartObjects(1).Activate
ActiveChart.SeriesCollection(1).Select
With Selection.Border
.ColorIndex = 57
.Weight = xlThick
.LineStyle = xlContinuous
End With
With Selection
.MarkerBackgroundColorIndex = xlAutomatic
.MarkerForegroundColorIndex = xlAutomatic
.MarkerStyle = xlAutomatic
.Smooth = False
.MarkerSize = 9
.Shadow = False
End With
End Sub
Excel 2003までのグラフでは、線の太さは、BorderオブジェクトのWightプロパティで設定します。ただし、設定できる太さは、ダイアログボックスで選択できる4種類です。

指定する定数は、次の通りです。

| 定数 | 値 | 意味 |
|---|---|---|
| xlHairline | 1 | 細線 (最も細い罫線) |
| xlThin | 2 | 極細 |
| xlMedium | -4138 | 普通 |
| xlThick | 4 | 太線 (最も太い罫線) |
マクロ記録したコードは、線の太さだけでなく色なども設定していますが、とりあえずこのコードは、Excel 2007でも動作します。

まぁ、実際には、Excel 2003でも線の太さを変えるだけなら、次のようにすると思います。
Sub Macro()
ActiveSheet.ChartObjects(1).Chart.SeriesCollection(1).Border.Weight = xlThick
End Sub
もちろん、このコードもExcel 2007で動作します。